Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели В с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели A, имеющей переменный темп обслуживания. В литературе по теории очередей модель В имеет техническое наименование M/D/1.

Формулы для описания модели В
с постоянным временем обслуживания M/D/1

Средняя длина очереди: .

Среднее время ожидания в очереди: .

Среднее число клиентов в системе: .

Среднее время ожидания в системе: .

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 60 тыс. руб. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассо­новскому закону с параметром z=8 в час.

Если будет использоваться новый компактор, то амортизационные затраты составят 3 тыс. руб. на один контейнеровоз.

Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ, для оценки целесообразности использования компактора:

Затраты в настоящее время: (1/4 ч ожидания)×(60 тыс. руб./ч)=-15 тыс. руб./поездка.

Новая система:   z=8 автомобилей/ч прибывают;

                               b=12 автомобилей/ч обслуживается.

Среднее время ожидания в очереди:

.

Затраты с новым компактором: (1/12 ч ожидания)×(60 тыс. руб./ч)=
=5 тыс. руб./поездка.

Доход при новом оборудовании: 15 (существующая система)–5 (но­вая система)=10 тыс. руб./поездка.

Амортизационные затраты: 3 тыс. руб./поездка.

Чистый доход: 7 тыс. руб./поездка.

Решить задачу согласно вашему варианту, используя модели массового обслуживания.

Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.

1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?

2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?

3. Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?

В системе банка «Автодор» время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.

4. Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?

5. Определите следующие характеристики системы:

·  вероятность того, что в системе нет требований;

·  среднее число требований в очереди;

·  среднее число требований в системе;

·  среднее время ожидания;

·  среднее время, которое клиент проводит в системе;

·  вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;

·  вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов, б) 3 кли­ента и в) более 3 клиентов.

Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания – 12 запросов в час. Определите:

·  вероятность того, что в системе нет запросов;

·  среднее число запросов в очереди;

·  среднее время ожидания;

·  среднее время, которое запрос проводит в системе:

·  вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.

Грузовики, прибывающие на обслуживание в порт, образуют одноканальную очередь. Их прибытие распределено по закону Пуассона. Время погрузки / разгрузки распределено экспоненциально. Средняя скорость прибытия – 12 грузовиков в день, обслуживания – 18 грузовиков в день. Определите:

·  вероятность того, что в системе нет грузовиков;

·  среднее число грузовиков в очереди;

·  среднее время ожидания;

·  вероятность того, что прибывающему грузовику придется ждать обслуживания.

Контора принимает обрабатываемые единственным клерком заказы, поступающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день. Определите:

·  среднее число заказов в системе;

·  среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;

·  среднее время, которое заказ проводит в системе.

В парикмахерской работает один мастер. Клиенты приходят со средней скоростью 2,2 человека в час, средний уровень обслуживания – 5 человек в час. Прибытие клиентов подчинено закону Пуассона, а время обслуживания распределено экспоненциально. Определите:

·  вероятность того, что в системе нет требований;

·  вероятность того, что один клиент стрижется и никто другой не ждет;

·  вероятность того, что один клиент стрижется и еще один ждет:

·  вероятность того, что один клиент стрижется и еще два ждут;

·  вероятность того, что более двух клиенток ждут;

·  среднее время ожидания.

Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 тыс. руб./ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать трех клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить четырех клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 тыс. руб./ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в час. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности времени обслуживания, определите:

·  среднее время, которое клиент проводит в очереди;

·  среднюю длину очереди;

·  среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

·  среднее число клиентов в системе обслуживания;

·  вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика.

Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 тыс. руб./ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?

Фирма «Уют» обеспечивает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В нормальном режиме каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите:

·  среднее время, которое клиент проводит в очереди;

·  среднюю длину очереди;

·  среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

·  среднее число клиентов в системе обслуживания;

·  вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.

Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять?

Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?

«У Петра» – маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания – 20 покупателей в час. Рассчитайте:

·  среднее время, которое покупатель проводит в очереди,

·  среднюю длину очереди,

·  среднее время, которое покупатель проводит в магазине,

·  среднее число покупателей в магазине,

·  вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Судно может остановиться в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания10 судов в час.

1. Какова вероятность того, что док будет пуст?

2. Каково среднее число судов в очереди?

3. Каково среднее время ожидания обслуживания?

4. Каково среднее время пребывания в доке?

Пациенты прибывают к дантисту со средней скоростью 2,8 челове­ка в час. Дантист в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем пациент ждет 30 мин.

Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в пациентах в минуту?

Какова средняя длина очереди?

Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в 1 мин. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем ждет обслуживания 4 мин. Найдите:

·  среднее число клиентов в системе;

·  среднее время обслуживания одного клиента в системе;

·  среднее число клиентов в очереди.